行列式的加法不等式
对于相同维数的半正定矩阵 $A,B,C$,
\[\det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C) \\ \det(A+B) \geq \det(A)+\det(B)\]行列式的乘法定理
方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积
若 $A, B$ 是相同维数的方块矩阵，
\[\det(AB)=\det(A)\det(B)\]行列式与转置
\[\det(A^T)=\det(A)\]行列式与秩
行列式$\neq$0 $\Leftrightarrow$ 满秩 $\Leftrightarrow$ 可逆
行列式$=$0 $\Leftrightarrow$ 低秩 $\Leftrightarrow$ 不可逆
行列式与逆
若 $A$ 是可逆矩阵，
\[\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}\]行列式的相似不变性
若 $A$ 与 $B$ 相似（即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A=PBP^{-1}$），
\[\det(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {PB} \mathbf {P} ^{-1})=\det(\mathbf {P} )\cdot \det(\mathbf {B} )\cdot \det(\mathbf {P} ^{-1})=\det(\mathbf {B} )\cdot \det(\mathbf {P} )\cdot \det(\mathbf {P} )^{-1}=\det(\mathbf {B} )\]行列式与特征值
行列式 = 所有特征值（按代数重数计）的乘积
行列式与分块矩阵
分块矩阵，若其对角元素中至少有一个是可逆矩阵，
\[\begin{align} \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B) \\ &=\det(D)\det(A-BD^{-1}C) \end{align}\]此结论可由分块矩阵的舒尔补导出。
行列式的西尔维斯特等式
若 $A$ 和 $B$ 分别是 $m\times n$ 和 $n\times m$ 维的矩阵，
\(\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA),\) 其中 $I_k$ 是 $k$ 阶单位矩阵
行列式的拉普拉斯展开
将方块矩阵表示成关于它的某一行（或某一列）的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。
行列式与克莱姆法则
迹的加法定理
对于任两个 $n\times n$ 的矩阵 $\mathbf{A}$、 $\mathbf {B}$ 和标量 $r$，都有：
\[\mathrm{tr}(\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \mathrm{tr}(\mathbf{A}) + \mathrm{tr}(\mathbf{B}) \\ \mathrm{tr}(r \cdot \mathbf{A} ) = r \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{A})\]迹与逆
\[\mathrm{tr}(\mathbf A^T)=\mathrm{tr}(\mathbf A)\]迹与矩阵乘法
\[\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i,j}A_{ij}B_{ij}\]迹的乘法循环交换律
对于相同维数的方阵 $A, B, C$，循环式地改变它们的顺序，乘积的迹不变。
\[\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} ) \\ \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )\]特别地，对于相同维数的对称方阵 $A, B, C$，任意地改变它们的顺序，乘积的迹不变。
\[\mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CBA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BAC} )\]迹的相似不变性
若 $A$ 和 $B$ 相似（即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=PAP^{-1}$），
\[\mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1})=\mathrm {tr} (\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {P} \mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\]迹与特征多项式
方阵 $A$ 的特征多项式定义为
\[P_{A}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\]矩阵的迹 = 所有特征值（按代数重数计）的和
\[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i} \\ \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{k}\right)=\sum _{i}\lambda _{i}^{k}\]迹的不等式
若 $A, B$ 是相同维数的半正定实矩阵，
\[0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\]此结论可由柯西-施瓦茨不等式证明。