Linalg

Linear Algebra | 线性代数

矩阵乘法 - 分块矩阵与舒尔补

Matrix Multiplication: Block Matrix and Schur Complement

矩阵乘法的灵活应用非常重要。矩阵乘法以 $2\times2$ 矩阵为例 Component-wise 对于矩阵乘法，按照定义有 \[\left[\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} a_2 & b_2 \\ c_2 &...

行列式与迹

Determinant and Trace of Matrices

行列式的加法不等式对于相同维数的半正定矩阵 $A,B,C$, \[\det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C) \\ \det(A+B) \geq \det(A)+\det(B)\] 行列式的乘法定理方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积若 $A, B$ 是相同维数的方块矩阵， \[\det(AB)=\det(A)\det(B)\]...

从伴随矩阵到克莱姆法则

From Cofactor Matrix To Cramer's Rule

伴随矩阵法求逆余子式与伴随矩阵设A是一个实系数的 n×n 矩阵。 \[\begin{equation} A = \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} &...

矩阵与向量的乘法

Vector-Matrix Multiplication

矩阵与向量相乘是线性代数中最基础的知识之一。区别开其定义形式和分量计算形式是非常重要的。通用记号矩阵 A 为 \(M*N\) 维的矩阵。以下下为一些记号。其中，\(A_k\) 表示矩阵 A 的各列，\(a_k\) 表示矩阵 A 的各行，\(A_{mn}\) 表示矩阵 A 的各元素。 \(A = \left[ \begin{array}{c|c|c} \qu...